複素解析学における分岐点の理論と分類

数学の複素解析学において、分岐点（ぶんきてん、英語: branch point）とは、その点を中心とする任意の閉曲線に沿って一周するとき、関数が元の点における値と一致しなくなるという意味で不連続となるような点を指す。多価関数を厳密に扱うためにはリーマン面の概念が不可欠であり、これに伴って分岐点の厳密な定義も与えられる。

分岐点のおもな分類

分岐点は、その性質によって代数分岐点、超越分岐点、対数分岐点の3種類に大別される。これらは多価関数の挙動やモノドロミーの性質によって区別される。

代数分岐点

代数分岐点は、方程式の根の選び方に任意性があるような関数、例えば $z = w^2$ の逆関数である平方根関数などに最もよく現れる。原点が分岐点となっており、原点周りの閉曲線に沿った解析接続を行うことで異なる関数値が得られる非自明なモノドロミーが存在する。幾何学的関数論においては、修飾語を付けずに単に「分岐点」と言えば代数分岐点を指すのが一般的である。

超越および対数分岐点

中心点 $z_0$ を除く穴あき円板上で定義される大域解析関数において、$z_0$ が真性特異点であり、閉曲線上を一周する解析接続によって相異なる関数要素となる場合、それを超越分岐点と呼ぶ。これに対し、対数分岐点は、周囲を一周する解析接続によって元の関数要素に戻ることが不可能な点を指す。その代表例が複素対数関数の原点における挙動であり、巻き数に応じて $2 au i$（$ au = ext{i} au$ 等）の増減が生じる無限巡回群のモノドロミーを持つ。

分岐截断とリーマン面

多価関数を一価関数の集まりとして扱いやすくするため、分岐点の間や無限遠点へ向けて分岐截断（ぶんきせつだん、branch cut）が導入される。複素対数関数における負の実軸に沿った截断はその典型例である。さらに、複素平面の複数の葉を分岐截断に沿って貼り合わせるリーマン面の理論を用いることで、多価関数をその上で連続なものとして幾何学的に理解することが可能となる。