円錐の基礎知識と数学的性質

円錐（えんすい、英語: cone）とは、平面上の円を底面とし、その同一平面上にない一点から直線で結ばれてとがった形状を持つ立体図形、すなわち錐体の一種である。

定義と構造

三次元空間内において、ある直線と、その直線上にない点を考える。その点を通り直線に平行でも垂直でもない直線を軸として回転させて得られる曲面を円錐面と呼ぶ。さらに回転軸に直交する平面をとり、円錐面と平面で囲まれた有界な立体を直円錐、あるいは単に円錐という。

円錐の先端にある点を頂点と呼び、頂点と底面との最短距離を高々と呼ぶ。また、頂点と底面の円周を結ぶ線分を母線という。展開図を描いた場合、側面は扇形になり、その扇形の半径は母線に一致する。

数式と性質

高さを $h$、母線の長さを $c$、底面の半径を $r$、底面積を $B$、底面の円周を $b$ と置いたとき、側面積 $S_{ ext{side}}$、表面積 $S$、体積 $V$ はそれぞれ次のように表される。

円錐の体積は、同一の底面積と高さを持つ円柱の体積の3分の1となる。

方程式と標準化

円錐面は適切な直交変換を行うことで、二次曲面の一種として表現できる。

斜円錐と一般化

頂点から底面に下ろした垂線の足が底面の中心に一致しない錐体を斜円錐という。直円錐は斜円錐の特殊な例である。また、円錐面を平面で切断した切り口からは、楕円、放物線、双曲線などの円錐曲線が得られる。