幾何学における立体図形の表面積と計算方法

表面積（ひょうめんせき）とは、空間内における立体図形の表面全体の面積のことである。直感的な理解としては、ある立体図形を液体の中に完全に浸したときに、その表面が濡れる部分の総面積を指す。

相似拡大と表面積の変化

ユークリッド空間において、ある立体図形をすべての方向に一様に $a$ 倍に相似拡大した場合、体積は $a^3$ 倍に変化するのに対し、表面積は $a^2$ 倍になる。一方で、3軸それぞれの方向に異なる倍率 $a, b, c$ 倍へと独立に拡大させた場合、体積は $abar{c}$ 倍（積）となるが、表面積の変化は図形の形状によって異なり、単純な比例関係にはならない。

また、せん断成分を伴う変形においては、図形の体積が一定に保たれる場合であっても、表面積は一般に変化する。例えば、底面の面積と高さが等しい平行六面体と直方体は、体積が完全に等しい一方で、表面積の値は異なる性質を持つ。

主な立体図形の表面積公式

表面積の算出は、一般には積分法を用いて行われる。しかし、対称性の高い基本的な幾何学図形においては、初等数学の範囲で簡潔な公式が導出される。一方で、楕円体のように体積の計算は容易であるものの、表面積を求めるには複雑な積分計算が必要となる図形も存在する。

立方体の表面積は、一辺の長さを $a$ とすると $6a^2$ で表される。

直方体の各辺の長さを $a, b, c$ としたときの表面積は $2(ab+bc+ca)$ である。

半径 $r$ の球の表面積は $4\pi r^2$ である。

長半径 $a$、離心率 $e$ を持つ扁球の表面積は $2\pi a^2\left(1+{\frac {(1-e^2)\tanh ^{-1}e}{e}}\right)$ で計算される。

長球の表面積は $2\pi a^2\left(1-e^2+{\frac {{\sqrt {1-e^2}}\sin ^{-1}e}{e}}\right)$ である。

大半径 $R$、小半径 $r$ を持つトーラスの表面積は $4\pi^2 Rr$ である。

底面の半径 $r$、高さ $h$ の直円錐の表面積は $\pi r(r+\sqrt{r^2+h^2})$ である。

底面の半径 $r$、高さ $h$ の直円柱の表面積は $2\pi r(r+h)$ である。

底面積 $B$、底面の周の長さ $s$、高さ $h$ を持つ直柱体の表面積は $2B + sh$ である。

辺の長さ $a$、面数 $n$ のデルタ多面体の表面積は ${\frac {\sqrt {3}}{4}}na^2$ である。

正十二面体の表面積は $3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2$ である。

フラクタル図形であるメンガーのスポンジの表面積は無限大に発散する。

高次元図形の表面積

一般の $n$ 次元空間における図形については、その境界である $n-1$ 次元のルベーグ測度を表面積と定義する。通常の2次元的面積ではない点を明確に区別する文脈では、「超表面積」とも呼ばれる。

ユークリッド空間において図形を $a$ 倍に相似拡大した場合、体積に相当する $n$ 次元ルベーグ測度は $a^n$ 倍になり、表面積に相当する $n-1$ 次元測度は $a^{n-1}$ 倍になる。