統計力学におけるエネルギー等配分の法則の概要と適用例

エネルギー等配分の法則（エネルギー等配分則、エネルギー等分配則などとも呼ばれる）は、古典統計力学において、熱平衡状態にある系の持つ自由度ごとに一定量のエネルギーが配分されることを示す法則です。

基本原理と数式表現

古典力学および古典統計力学が成り立つ理想的な系を想定します。系全体のハミルトニアンを H とし、相空間の座標の1つの成分（一般化座標または一般化運動量）を ξ_j とします。H の項のうち ξ_j が関係する部分 ε_j が次のような二次形式で表されると仮定します。

ここで、α_j は正の定数です。熱平衡状態において、このエネルギー ε_j の統計的平均値は次式で表されます。

ここで、k_B はボルツマン定数、T は絶対温度です。すなわち、理想的な系の熱平衡状態では、1自由度あたりに平均で k_BT / 2 の運動エネルギーが割り振られ、調和振動子とみなせる自由度についてはポテンシャルエネルギーも同様に割り振られます。

適用限界

エネルギー等配分の法則は、エネルギーが二次形式で表現できる場合に成り立ちます。しかし、量子力学的な効果が顕著になる極低温の領域や、非調和項が無視できない場合には、この古典的な法則は成立しなくなります。

具体的な適用例

単原子分子理想気体

単原子分子理想気体の個々の分子のエネルギーは、分子の質量を m として次のように表されます。

3次元空間の x, y, z 各座標の運動量に対応する3つの自由度が存在するため、平均エネルギーは次のようになります。

二原子分子理想気体

二原子分子の場合、並進運動の自由度に加え、回転に関する自由度（角度成分）が加わります。

並進運動の3つの自由度と回転運動の2つの自由度を合わせて合計5つの自由度を持つため、平均エネルギーは次のようになります。