平均値の概念と数学的定義

平均（英: mean, average）または平均値とは、数学や統計学において、数の集合やデータセットの全体的な傾向を示す代表値の一種です。文脈に応じて算術平均、幾何平均、調和平均など複数の定義が存在し、目的に応じて使い分けられます。

算術平均

算術平均（相加平均）は、最も一般的に用いられる平均の定義です。データセット内のすべての値の総和を、要素数で割ることで算出されます。実数、複素数、ベクトルなど、加法とスカラー倍が定義された対象に対して適用可能です。

統計学における代表値としての注意

統計調査や科学観測において算術平均を用いる際は、データの分布特性を考慮する必要があります。算術平均は外れ値の影響を受けやすく、分布が左右非対称な場合には、中央値や最頻値の方がデータの特徴をより適切に表すことがあります。

例えば、所得分布のように一部の高所得者が平均値を押し上げるようなデータでは、算術平均値が一般的な世帯の所得と乖離することがあります。このような場合には、対数正規分布を考慮した幾何平均や、極端な値を除外する刈込平均（トリム平均）を用いることが有効です。

その他の平均の種類

算術平均以外にも、特定の目的に応じて以下の平均が用いられます。

• 幾何平均（相乗平均）：データの積のn乗根をとる平均です。成長率や比率など、乗法的な変化を扱う際に適しています。
• 調和平均：逆数の算術平均の逆数です。速度の平均や並列回路の抵抗値計算など、逆数的な関係を持つデータの平均に適しています。
• 一般化平均：算術平均、幾何平均、調和平均を統一的に扱う概念です。パラメータpを変化させることで、二乗平均平方根（RMS）など様々な平均を定義できます。

平均値の大小関係

正の実数集合において、算術平均、幾何平均、調和平均の間には「算術平均 ≧ 幾何平均 ≧ 調和平均」という不等式が成り立ちます。これはデータの値がすべて等しい場合にのみ等号が成立します。