数学における指数関数の性質と定義

実解析における指数関数（しすうかんすう、英: exponential function）は、冪乗における指数を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数の逆関数であるため、逆対数と呼ばれることもある。自然科学において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる。

一般に、定数に関して、変数 を へ送る関数は、「 を底とする指数関数」と呼ばれる。「指数関数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする関数であることを示唆するものである。

自然指数関数とその特徴

しばしば、より狭義の関数を意図して単に「指数関数」と呼ぶこともある。そのような標準的な指数関数（自然指数関数）はネイピア数 を底とする関数 である。これを のようにも書く。この関数は、導関数が自分自身に一致するなど、他の指数関数と比べて特異な性質を持つ。

歴史的背景

ある量の変化率がその量の現在値に比例するというような状況において、指数関数は生じてくる。連続的複利計算の文脈において、ヤコブ・ベルヌーイが今日 と書かれる数を導いたことに端を発する。その後、ヨハン・ベルヌーイやオイラーによって解析学的な研究が進められた。

微分と導関数

底がネイピア数 である指数関数の導関数は、関数自身に一致するという重要な特徴を持つ。すなわち、微分しても変化しないという性質が解析学における定義の一つとしても利用される。

様々な一般化

指数関数は、実数の範囲にとどまらず、複素数、p-進数、行列やバナッハ環などのより広い対象へと拡張することができる。複素指数関数においては、オイラーの公式を通じて三角関数と密接に結びついている。