ベクトル場：数学および物理学における概念と定義

ベクトル場（英: vector field）は、数学において空間の各点に対してベクトルを割り当てる写像です。物理学や工学の分野では、流体の速度分布や磁場、重力場のように、空間の各点における物理量の向きと大きさを記述するために広く用いられます。

数学的定義

最も単純な設定では、ユークリッド空間の開集合からベクトル空間への関数として定義されます。現代数学においては、多様体論の枠組みを用いてより厳密に定義されます。

多様体 M 上のベクトル場 X は、M の各点 p に対して、その点における接ベクトル空間 T_pM のベクトルを割り当てる写像として定義されます。これは接ベクトル束 TM の断面（セクション）と見なすことができます。

ベクトル場に対する演算

3次元ユークリッド空間上のベクトル場に対しては、微分演算を用いてその性質を記述する以下の操作が定義されます。

• 勾配（Gradient）: スカラー場の空間的な変化率を表します。

  

• 発散（Divergence）: ベクトル場の湧き出しや吸い込みを表します。

  

• 回転（Rotation/Curl）: ベクトル場の渦の強さと向きを表します。

  

ヘルムホルツの定理

3次元空間において、十分な滑らかさを持つベクトル場 V は、スカラーポテンシャル φ とベクトルポテンシャル A を用いて、勾配と回転の和として分解できるという定理です。

流れ（フロー）

ベクトル場 X が与えられたとき、各点での速度が X に一致するような曲線の集まりを「流れ」と呼びます。これは力学系における軌道として解釈され、微分方程式の初期値問題として定式化されます。